Question

【题目】抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）与x轴交于点（x1，0）和（x2，0），与y轴交于点A，点E为抛物线顶点．

（Ⅰ）当x1＝﹣1，x2＝3时，求点E，点A的坐标；

（Ⅱ）①若顶点E在直线y＝x上时，用含有b的代数式表示c；

②在①的前提下，当点A的位置最高时，求抛物线的解析式；

（Ⅲ）若x1＝﹣1，b＞0，当P（1，0）满足PA+PE值最小时，求b的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）点A的坐标为（0，3），点E的坐标为（1，4）；（Ⅱ）①c＝；②；（Ⅲ）3+．

【解析】

（Ⅰ）根据题意和x1＝﹣1，x2＝3，可以得到点（﹣1，0），（3，0）在抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的图象上，然后即可求得该抛物线的解析式，再将抛物线解析式化为顶点式，即可得到点A和点E的坐标；

（Ⅱ）①将题目中的函数解析式化为顶点式，再根据题目中顶点E在直线y＝x上，即可得到c和b的关系；

②根据①的结果和二次函数的性质，可以求得当点A的位置最高时，抛物线的解析式；

（Ⅲ）根据x1＝﹣1，b＞0和题目中的函数解析式，可以得到点A的坐标，然后即可求得直线AP的解析式，再根据最短路线问题可以得到当P（1，0）满足PA＋PE值最小时b的值．

解：（Ⅰ）∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c（b，c为常数）与x轴交于点（x1，0）和（x2，0），与y轴交于点A，点E为抛物线顶点，x1＝﹣1，x2＝3，

∴点（﹣1，0），（3，0）在抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的图象上，

∴，解得，

∴y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣（x﹣1）2＋4，

∴点A的坐标为（0，3），点E的坐标为（1，4）；

（Ⅱ）①∵y＝﹣x2＋bx＋c＝，

∴点E的坐标为（，），

∵顶点E在直线y＝x上，

∴＝，

∴c＝；

②由①知，，

则点A的坐标为（0，），

∴当b＝1时，此时点A的位置最高，函数y＝﹣x2＋x＋，

即在①的前提下，当点A的位置最高时，抛物线的解析式是；

（Ⅲ）∵x1＝﹣1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点（x1，0），

∴﹣1﹣b＋c＝0，

∴c＝1＋b，

∵点E的坐标为（，），点A的坐标为（0，c），

∴E（，），A（0，b＋1），

∴点E关于x轴的对称点E′（，﹣），

设过点A（0，b＋1）、P（1，0）的直线解析式为y＝kx＋t，

，得，

∴直线AP的解析式为y＝（﹣b﹣1）x＋（b＋1）＝﹣（b＋1）x＋（b＋1）＝（b＋1）（﹣x＋1），

∵当直线AP过点E′时，PA＋PE值最小，

∴﹣＝（b＋1）（﹣＋1），

化简得：b2﹣6b﹣8＝0，

解得：b1＝，b2＝

∵b＞0，

∴b＝，

即b的值是3＋．