Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，∠ABC=45°，△DCE是等腰直角三角形，∠DCE=90°．
（1）求证：△ACB是等腰直角三角形；
（2）若点M是线段BE的中点，N是线段AD的中点．求证：MN=

2

OM．

Answer 1

分析：（1）由AB为圆O的直径，得到∠ACB为直角，再由∠ABC=45°，得到△ABC为等腰直角三角形；
（2）连接ON、AE、BD，并延长BD交AE于点F，先证明△BCD≌△ACE，得到BD=AE，∠EBD=∠CAE，则∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BD⊥AE，再利用三角形的中位线的性质得到ON=

1

2

BD，OM=

1

2

AE，ON∥BD，AE∥OM，于是有ON=OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，即可得到结论．

解答：证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∴△ACB是等腰直角三角形；

（2）连接ON、AE、BD，并延长BD交AE于点F，
∵∠CAB=∠ABC，
∴AC=BC，
∵等腰直角三角形DCE，∠DCE=90°，
∴CD=CE，∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中

BC=AC ∠BCD=∠ACE CD=CE

∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD，∠DBC=∠EAC，
∴∠ABF+∠BAE=45°-∠DBC+45°+∠EAC=90°，
∵O、N分别是线段AB、AD的中点，
A0=

1

2

AB，AN=

1

2

AD，
∴ON∥BD，ON=

1

2

BD
同理可证，OM∥AE，OM=AE，
∴ON=OM，∠AON=∠ABF，∠BOM=∠BAE，
∴∠AON+∠BOM=90°，
∴∠MON=90°，
∴MN=

2

OM．

点评：本题考查了直径所对的圆周角为直角和三角形中位线的性质，三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及旋转的性质，是一道综合性较强的探究题．