Question

20．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°．AB=AD=4，CD=3，点P在四边形ABCD的边长，若点P到BD的距离为$\sqrt{3}$，则点P的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 首先作出AB、AD边上的点P（点A）到BD的垂线段AE，即点P到BD的最长距离，作出BC、CD的点P（点C）到BD的垂线段CF，即点P到BD的最长距离，由已知计算出AE、CF的长与$\sqrt{3}$比较得出答案．

解答 解：过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F，
∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=4，CD=3，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠CDF=90°-∠ADB=45°，
∵sin∠ABD=$\frac{AE}{AB}$，
∴AE=AB•sin∠ABD=4•sin45°=2$\sqrt{2}$＞$\sqrt{3}$，
所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为$\sqrt{3}$的点2个，
∵sin∠CDF=$\frac{CF}{CD}$，
∴CF=CD•sin∠CDF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$＞$\sqrt{3}$，
所以在边BC和CD上到BD的距离为$\sqrt{3}$的点有2个，
总之，P到BD的距离为$\sqrt{3}$的点有4个．
故选：D．

点评 此题考查的知识点是解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是先求出各边上点到BD的最大距离比较得出答案．