Question

如图，矩形OABC，AB∥x轴，点B（9，6），过点B、C的⊙P与y轴相切于点D，且与x轴交于另一点为E．
（1）求点A、E的坐标；
（2）求过点A、E、C三点的抛物线的解析式．

Answer 1

考点：切线的性质,待定系数法求二次函数解析式

专题：

分析：（1）根据B的坐标即可求得A的坐标，连接DP并延长交BC于F，那么不难得出DF⊥BC，根据垂径定理可知CF=BF=3，由此可求出D点的坐标．求E点坐标，关键是求OE的长，可连接BE、DE、BD，由于∠ECB=90°，因此BE必过圆心P，则∠EDB=90°，因此可通过相似三角形OED和ABD来求出OE的长，即可得出E点的坐标．
（2）根据A、C、E的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式．

解答：解：（1）连接DP并延长交BC于F，
∵矩形OABC，AB∥x轴，点B（9，6），
∴A的坐标为（0，6），
由于OA与圆P相切于D，因此DF⊥OA．
∵BC∥OA，
∴DF⊥BC
∴BF=FC=OD=AD=3，
即D点的坐标为（0，3）
连接BE、DE、BD，
∵∠ECB=90°，
∴BE是圆P的直径，
∴∠EDB=90°，
可得△OED∽△ADB，
∴

AD

OE

=

AB

OD

，
OE=

AD•OD

AB

=

3×3

9

=1，
因此E点的坐标为（1，0）．

（2）已知A，C，E的坐标分别为（0，6），（9，0），（1，0）．
可设过这三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
则有

c=6 81a+9b+c=0 a+b+c=0

，
解得

a= 2 3 b=- 20 3 c=6

，
因此抛物线的解析式为y=

2

3

x²-

20

3

x+6．

点评：本题主要考查了矩形的性质，切线的性质，圆周角定理，相似三角形的应用以及二次函数解析式的确定等知识点，综合性较强．