Question

【题目】如图1，中，，分别是上的点，且满足．

（1）求证：

（2）在图1中，是否存在与AP相等的线段？若存在，请找出来，并加以证明；若不存在，说明理由．

（3）若将“为上的点”改为：“为DB延长线上的点”其他条件不变（如图2）若，求线段之间的数量关系（用含的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）证明详见解析；（2）存在，，理由见解析；（3）

【解析】

（1）由已知可得四边形ABCD是菱形，结合菱形的性质，由可得，即可求得；

（2）过点A作，交BD于点M，证得，得，即可得AP=AQ；

（3）过点A作，交BD的延长线于点M，作，可证，得，即，易证，即可得到．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，，

∴四边形ABCD是菱形，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

（2）存在，．

如图，过点A作，交BD于点M，

∴∠APM=∠AMP，

由（1）知，，

∴∠APM=∠AQC，

∴∠AMP=∠AQC，

又∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=AC，∠B=∠C，

∴，

∴，

即AP=AQ．

（3）过点A作，交BD的延长线于点M，作，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AC∥BD，∠C+∠BDC=180°，∠ACD=∠ABM，

∵，

∴∠PAQ+∠BDC=180°，

∴∠APB+∠AQD=180°，

∴∠APB=∠AQC，

又∵AP=AM，

∴∠APB=∠AMP，

∴∠AQC=∠AMP，

∴，

∴，

，

在等腰△APM中，AH⊥PM，

∴，

，

即．