题目内容
已知⊙O的半径为1，O为坐标原点，AB是⊙O的弦，四边形ABCD是以AB为边的正方形，点C、D在⊙O外．
（1）如图1，当点A在x 轴正半轴上、点B在y轴正半轴上时，求出点C与圆心O的距离；
（2）如图2，将图1中的正方形ABCD沿y轴向上平移至与⊙O相切，求出此时平移的距离；
（3）如图3，点A在x 轴正半轴上，点B在x轴上方，当点B在⊙O上运动时：
①直线BD是否总经过一定点？若直线BD过一定点，直接写出这点的坐标；若不过一定点，请说明理由．
②求出点C与圆心O距离的最大值．
（1）如图1，当点A在x 轴正半轴上、点B在y轴正半轴上时，求出点C与圆心O的距离；
（2）如图2，将图1中的正方形ABCD沿y轴向上平移至与⊙O相切，求出此时平移的距离；
（3）如图3，点A在x 轴正半轴上，点B在x轴上方，当点B在⊙O上运动时：
①直线BD是否总经过一定点？若直线BD过一定点，直接写出这点的坐标；若不过一定点，请说明理由．
②求出点C与圆心O距离的最大值．
考点：圆的综合题
专题：
分析：（1）先证得△CHB≌△AOB，得出CH=BH=OA=OB=1，然后根据勾股定理求得OC；
（2）根据勾股定理求得OB′然后OB′-OB即可；
（3）①连接BD交⊙O于E，连接OE，由∠ABD=45°，得出∠AOE=90°，证得OE在y轴上，进而求得E的坐标；②根据三角形全等求得EC=AE=
，因为C在y轴上
点C与圆心O距离的最大，从而求得最大值为
+1；
（2）根据勾股定理求得OB′然后OB′-OB即可；
（3）①连接BD交⊙O于E，连接OE，由∠ABD=45°，得出∠AOE=90°，证得OE在y轴上，进而求得E的坐标；②根据三角形全等求得EC=AE=
| 2 |
点C与圆心O距离的最大，从而求得最大值为
| 2 |
解答：
解：（1）如图1，过点C作CH⊥y轴，垂足为H，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBH=∠HCB=45°，
∵AB=BC，
∴△CHB≌△AOB，
∴CH=BH=OA=OB=1，
∴OH=2，
∴OC=
=
=
；
（2）如图2，∵OB′=
，OB=1，
∴平移的距离为BB′=OB′-OB=
-1；
（3）如图3，①连接BD交⊙O于E，连接OE，
∵∠ABD=45°，
∴∠AOE=90°，
∴OE在y轴上，
∴E（0，1），
∴经过定点E（0，1）；
②连接CE，AE，
∵∠CBE=∠ABE，AB=BC，BE=BE，
∴△BC'E≌△BAE．
∴CE=AE=
，
∴当点C在y轴正半轴上时，点C与圆心O距离的最大，最大值为
+1；
解：（1）如图1，过点C作CH⊥y轴，垂足为H，∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBH=∠HCB=45°，
∵AB=BC，
∴△CHB≌△AOB，
∴CH=BH=OA=OB=1，
∴OH=2，
∴OC=
| CH2+OH2 |
| 12+22 |
| 5 |
（2）如图2，∵OB′=
| 2 |
∴平移的距离为BB′=OB′-OB=
| 2 |
（3）如图3，①连接BD交⊙O于E，连接OE，∵∠ABD=45°，
∴∠AOE=90°，
∴OE在y轴上，
∴E（0，1），
∴经过定点E（0，1）；
②连接CE，AE，
∵∠CBE=∠ABE，AB=BC，BE=BE，
∴△BC'E≌△BAE．
∴CE=AE=
| 2 |
∴当点C在y轴正半轴上时，点C与圆心O距离的最大，最大值为
| 2 |
点评：本题是圆的综合题，主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用，圆周角和圆心角的关系等，本题的关键是圆心角和圆周角的关系；
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