Question

7．如图，在?ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点G、H．
（1）求证：四边形AGCH是平行四边形；
（2）当DE=2，FH=$\frac{3}{2}$时，求BH的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明CG∥AH，AG∥CH即可．
（2）先证明△DEG≌△BFH得BH=DG，再在Rt△DEG中，利用勾股定理即可解决问题．

解答 （1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵AG⊥BD，CH⊥BD，
∴AG∥CH，
∴CG∥AH，AG∥CH，
∴四边形AGCH是平行四边形．

（2）∵四边形AGCH是平行四边形，
∴CG=AH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴DG=BH，∠GDE=∠HBF，
在△GDE和△HBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GDE=∠HBF}\\{∠DEG=∠HFB}\\{DG=BH}\end{array}\right.$，
∴△GDE≌△HBF，
∴GE=HF=$\frac{3}{2}$，DG=BH，
在Rt△DGE中，∵∠DEG=90°，DE=2，GE=$\frac{3}{2}$，
∴DG=$\sqrt{D{E}^{2}+G{E}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴BH=DG=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是记住平行四边形的判定方法和性质，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．