Question

分别以□ ABCD（90°）　的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF.

（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；

（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，(1)中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.

 

                                                                         

Answer 1

解：(1)GF⊥EF，GF=EF.

(2)GF⊥EF，GF=EF成立

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=DC，∠DAB+∠ADC=180°.

∵△ABE，△CDG，△ADF. 都是等腰直角三角形，

∴DG=AE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠DAF=∠BAE=45°∴∠BAE+∠DAF+∠EAF+∠ADF+∠CDF =180°.

∴∠EAF+∠CDF =45°.

∵∠CDF+∠GDF =45°，

∴∠GDF=∠EAF.

∴△GDF≌△EAF.∴GF=EF，∠GFD=∠EFA.即∠GFD+∠GFA =∠EFA+∠GFA

∴∠GFE=∠DFA=90°.

∴GF⊥EF.