Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．
（I）求证：BD与⊙O相切．
（2）若点D是AC的中点．求tan∠DBA的值．

Answer 1

分析 （1）连接OD，如图，利用∠A=∠1和∠A+∠CDB=90°可得到∠1+∠CDB=90°，则∠BDO=90°，然后根据切线的判定定理可得到结论；
（2）连接DE，如图，设AD=a，则CD=x，利用圆周角定理得到∠ADE=90°，则DE∥AB，再证明∠CDB=∠ABC判定△CDB∽△CBA，利用相似比可计算出BC=$\sqrt{2}$a，接着利用勾股定理分别计算出BD=$\sqrt{3}$a，AB=$\sqrt{6}$a，则OD=$\frac{\sqrt{6}}{4}$a，然后在Rt△BOD中利用正切的定义求解．

解答 （1）证明：连接OD，如图，
∵OA=OD，
∴∠A=∠1，
∵∠A+∠CDB=90°，
∴∠1+∠CDB=90°，
∴∠BDO=90°，
∴OD⊥BD，
∴BD与⊙O相切；

（2）解：连接DE，如图，设AD=a，则CD=x，
∵AE为直径，
∴∠ADE=90°，
而∠C=90°，
∴DE∥AB，
∴∠AED=∠ABC，AE=BE，
∵∠A+∠CDB=90°，
∵∠A+∠AED=90°，
∴∠CDB=∠ABC，
∴△CDB∽△CBA，
∴CD：BC=BC：CA，即a：BC=BC：2a，
∴BC=$\sqrt{2}$a，
在Rt△CDB中，BD=$\sqrt{{a}^{2}+（\sqrt{2}a）^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{（2a）^{2}+（\sqrt{2}a）^{2}}$=$\sqrt{6}$a，
∴AE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
∴OD=$\frac{\sqrt{6}}{4}$a，
在Rt△BOD中，tan∠DBO=$\frac{OD}{BD}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}a}{4}}{\sqrt{3}a}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了相似三角形的判定与性质．