Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y＝﹣ x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是直线CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交 线段CD于点E，设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求PE的长最大时m的值．

（3）Q是平面直角坐标系内一点，在（2）的情况下，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形是否存在？若存在，请直接写出存在 个满足题意的点．

Answer 1

【答案】（1）（2）当时,的长最大（3）

【解析】

（1）根据待定系数法求解即可；

（2）设点的坐标为、点的坐标为，列出，根据二次函数的图象性质求解即可；

（3）分以为对角线时、以为对角线时、以为对角线时三种情况进行讨论求解即可．

解：（1）∵抛物线与轴交于、两点

∴将、两点代入，得：

∴

∴抛物线的解析式为：．

（2）∵直线与轴交于点，与轴交于点

∴点的坐标为，点的坐标为

∴

∵点的横坐标为

∴点的坐标为，点的坐标为

∴

∵，

∴当时,的长最大．

（3）∵由（2）可知，点的坐标为：

∴以、、、为顶点的四边形是平行四边形分为三种情况，如图：

①以为对角线时

∵点的坐标为：，点的坐标为，点的坐标为

∴点的坐标为，即；

②以为对角线时

∵点的坐标为：，点的坐标为，点的坐标为

∴点的坐标为，即；

③以为对角线时

∵点的坐标为：，点的坐标为，点的坐标为

∴点的坐标为，即．

∴综上所述，在（2）的情况下，存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为：、或

∴存在个满足题意的点．