Question

11．如图，在等边△ABC中，D、E、F三点分别在AB，BC，AC上，DE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FD⊥AB于D．
（1）求证：△DEF是等边三角形；
（2）若BE=2，求等边△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）由△ABC是等边三角形和DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，求出∠BDE=∠FEC=∠AFD=30°，推出∠DEF=∠DFE=∠EDF=60°，推出DF=DE=EF，即可得出△DEF等边三角形；
（2）推出△ADF、△BED、△CFE三个三角形全等．求出AB=3BE，进一步得出答案即可．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠B=∠C=∠A=60°，
∵DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，
∴∠DEB=∠EFC=∠FDA=90°，
∴∠BDE=∠FEC=∠AFD=30°，
∴∠DEF=∠DFE=∠EDF=180°-90°-30°=60°，
∴DF=DE=EF，
∴△DEF是等边三角形，
（2）解：在△ADF、△BED、△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠BED=∠CFE}\\{∠A=∠B=∠C}\\{DF=DE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（AAS），
∴AD=BE=CF，
∵∠DEB=90°，∠BDE=30°，
∴BD=2BE，
∴AB=3BE=6，
∴△ABC的周长为6×3=18．

点评 此题考查了等边三角形性质，含30度角的直角三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，综合训练学生的推理能力．