Question

 在平面直角坐标系中, 抛物线+与直线交于A, B两点，点A在点B的左侧.

    (1) 如图，当时，直接写出A，B两点的坐标；

(2) 在(1)的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；

(3) 如图，抛物线+ 与轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）.在直线上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）A(-1,0)  ，B(2,3)

【解答，无需写】当k=1时，列，解可得

（2）平移直线AB得到直线L，当L与抛物线只有一个交点时，△ABP面积最大【如图12-1（1）】

设直线L解析式为： ，

根据，得

判别式△，解得，

代入原方程中，得；解得，，

∴P（,）

易求，AB交轴于M（0，1），直线L交轴于G（0，）

过M作MN⊥直线L于N，∵OM=1，OA=1，∴∠AMO=45°

∵∠AMN=90，∴∠NMO=45°

在RT△MNE中，∠NMO=45°，MG=，【如图12-1（2）】

∴ MN=，MN即为△ABP的高

由两点间距离公式，求得：AB=

故△ABP最大面积

（3）设在直线上存在唯一一点Q使得∠OQC=90°

     则点Q为以OC的中点E为圆心，OC为直径形成的圆E与直线

     相切时的切点【如图12-2（1）】

由解析式可知：C（,0），OC=，则圆E的半径：OE=CE==QE

设直线与、轴交于H点和F点，与，

则F（0,1），∴OF=1   则H（,0）， ∴OH =  

∴ EH=

∵AB为切线   ∴EQ⊥AB，∠EQH=90°

在△FOH和△EQH中    

∴△FOH∽△EQH

     ∴   ∴ 1：=：QH，∴QH =

     

在RT△EQH中，EH=，QH =，QE =，根据勾股定理得，

 +=

求得