Question

18．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=$\frac{1}{2}$AC，连接AE交OD于点F，连接CE、OE．
（1）求证：OE=CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）由菱形ABCD中，DE∥AC且DE=$\frac{1}{2}$AC，易证得四边形OCED是平行四边形，继而可得OE=CD即可；
（2）由菱形的对角线互相垂直，可证得四边形OCED是矩形，根据菱形的性质得出AC=AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可．

解答 （1）证明：四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，AD=CD，
∵DE∥AC且DE=$\frac{1}{2}$AC，
∴DE=OA=OC，
∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形，
∴OE=AD，
∴OE=CD；

（2）解：∵AC⊥BD，
∴四边形OCED是矩形，
∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AC=AB=2，
∴在矩形OCED中，CE=OD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴在Rt△ACE中，AE=$\sqrt{A{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用．注意证得四边形OCED是平行四边形，四边形OCED是矩形是关键．