Question

17．如图，在矩形ABCD中，AD=4，CD=3，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，垂足为O，则EF的长为$\frac{15}{4}$．

Answer 1

分析 设AE=x，则ED=4-x，利用勾股定理列方程：x²=3²+（4-x）²，求出x的值，再利用勾股定理计算OE的长，由全等证明OE=OF，从而得出EF=2OE．

解答 解：连接EC，设AE=x，则ED=4-x，
∵EF是AC的中垂线，
∴EC=AE=x，
在Rt△EDC中，x²=3²+（4-x）²，
x=$\frac{25}{8}$，
∴AE=CE=$\frac{25}{8}$，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，AC=5，
∴OC=AO=$\frac{5}{2}$，
在Rt△EOC中，EO=$\sqrt{E{C}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{25}{8}）^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{15}{8}$，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
在△AOE和△COF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠ACB}\\{AO=OC}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∴EF=2OE=2×$\frac{15}{8}$=$\frac{15}{4}$，
故答案为：$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理，在矩形中，通常设未知数，利用勾股定理列方程可求得线段的长，并熟练掌握矩形的性质．