Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．

（1）求证：CF是⊙O的切线．

（2）若∠A＝22.5°，求证：CE＝CB．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）根据圆周角定理的推论得到∠ACB=∠ACD=90°，根据直角三角形的性质得到CF=EF=DF，求得∠AEO=∠FEC=∠FCE，根据等腰三角形的性质得到∠OCA=∠OAC，于是得到结论；
（2）连接AD，根据三角形的内角和以及对顶角的性质可得到∠OAE=∠CDE=22.5°，再证明△ADO≌△BDO，所以有∠ADO=∠BDO=22.5°，进一步可得出∠CAD=∠ADC=45°，得出AC=CD，最后证明△CDE≌△CAB，即可得出结论．

证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ACD=90°，
∵点F是ED的中点，
∴CF=EF=DF，
∴∠AEO=∠FEC=∠FCE，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵OD⊥AB，
∴∠OAC+∠AEO=90°，
∴∠OCA+∠FCE=90°，即OC⊥FC，
∴CF与⊙O相切；
（2）连接AD，

∵OD⊥AB，AC⊥BD，

∴∠AOE=∠ACD=90°，
∵∠AEO=∠DEC，
∴∠OAE=∠CDE=22.5°，
∵AO=BO，∠AOD=∠BOD=90°，DO=DO，

∴△ADO≌△BDO（SAS），
∴∠ADO=∠BDO=22.5°，
∴∠ADB=45°，
∴∠CAD=∠ADC=45°，
∴AC=CD．

又∠ACB=∠DCE，∠BAC=∠EDC，

∴△CDE≌△CAB（ASA），

∴CE=CB．