Question

【题目】如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P从PB处开始顺时针方向旋转，PM交边AB于点E，PN交边AD于点F，当PE旋转至PA处时，∠MPN的旋转随即停止.

（1）如图2，在旋转中发现当PM经过点A时，PN也经过点D，求证：△ABP ∽△PCD

（2）如图3，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由

（3）设AE，连结EF，则在旋转过程中，当为何值时，△BPE与△PEF相似.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）的值是定值，该定值为 ；（3）当或时，△BPE与△PEF相似

【解析】

（1）因为在矩形中，所以只要再证明∠BAP=∠CPD即可；（2）证明边比为定值，考虑相似三角形，过点F作FG⊥BC于G，创造△PGF并证明其与△EBP 相似；（3）使△BPE ∽△PFE，那么，算出m值，反证相似.

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形

∴∠B=∠C=90°

∴∠BAP+∠BPA=90°

∵∠MPN=90°

∴∠CPD+∠BPA=90°

∴∠BAP=∠CPD

∴△ABP ∽△PCD

（2）过点F作FG⊥BC于G

∴∠FGP=90°

∴∠FGP=∠B，∠PFG+∠FPG=90°

易知四边形ABGF是矩形，

∴FG=AB=2

∵∠MPN=90°

∴∠EPB+∠FPG=90°

∴∠EPB=∠FPG

∴△EBP ∽△PGF

∴

∴的值是定值，该定值为

（3）∵AE

∴BE

①当时，

∵∠B=∠EPF=90°

∴△BPE ∽△PFE

∴

∴

∴

②当时，

∵∠B=∠EPF=90°

∴△BPE ∽△PEF

∴

∴

∴

综上，当或时，△BPE与△PEF相似.