题目内容
如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．
（1）用含有t的代数式表示PE= ；
（2）探究：当t为何值时，四边形PQBE为梯形？
（3）是否存在这样的点P和点Q，使△PQE为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，AB=DC=3，AD=BC=4，
∴在Rt△ACD中，利用勾股定理得：AC=
=5，
∵PE∥CD，
∴∠APE=∠ADC，∠AEP=∠ACD，
∴△APE∽△ADC，
又∵PD=t，AD=4，AP=AD﹣PD=4﹣t，AC=5，DC=3，
∴
=
=
，即
=
=
，
∴PE=﹣
t+3．
故答案为：﹣t+3；
（2）若QB∥PE，四边形PQBE是矩形，非梯形，
故QB与PE不平行，
当QP∥BE时，
∵∠PQE=∠BEQ，
∴∠AQP=∠CEB，
∵AD∥BC，
∴∠PAQ=∠BCE，
∴△PAQ∽△BCE，
由（1）得：AE=﹣
t+5，PA=4﹣t，BC=4，AQ=t，
∴
=
=
，即
=
=
，
整理得：5（4﹣t）=16，
解得：t=
，
∴当t=时，QP∥BE，而QB与PE不平行，此时四边形PQBE是梯形；
（3）存在．
分两种情况：
当Q在线段AE上时：QE=AE﹣AQ=﹣
t+5﹣t=5﹣
t，
（i）当QE=PE时，5﹣t=﹣
t+3，
解得：x=
；
（ii）当QP=QE时，∠QPE=∠QEP，
∵∠APQ+∠QPE=90°，∠PAQ+∠QEP=90°，
∴∠APQ=∠PAQ，
∴AQ=QP=QE，
∴t=5﹣t，
解得，t=
；
（iii）当QP=PE时，过P作PF⊥QE于F（如图1），
可得：FE=
QE=
（5﹣
t）=
，
∵PE∥DC，∴∠AEP=∠ACD，
∴cos∠AEP=cos∠ACD=
=
，
∵cos∠AEP=
=
=
，
解得t=
；
当点Q在线段EC上时，△PQE只能是钝角三角形，如图2所示：
∴PE=EQ=AQ﹣AE，AQ=t，AE=﹣
t+5，PE=﹣
t+3，
∴﹣t+3=t﹣（﹣t+5），
解得nt=
．
综上，当t=
或t=
或t=
或t=
时，△PQE为等腰三角形．
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C． 6 D． 
