题目内容
已知：如图，等腰△ABC中，底边BC=12，高AD=6．（1）在△ABC内作矩形EFGH，使F、G在BC上，E、H分别在AB、AC上，且长是宽的2倍．求矩形EFGH的面积．
（2）在（1）的基础上，再作第二个矩形，使其两个顶点在EH上，另外两个顶点分别在AB、AC上，且长是宽的2倍．则第二个矩形的面积为
（3）在（2）的基础上，再作第三个矩形，使其两个顶点在第二个矩形的边上，另外两个顶点分别在AB、AC上，且长是宽的2倍．则第三个矩形的面积为
（4）按照这样的方式做下去，根据上述计算猜想第四个矩形的面积为
分析：（1）由题意推出△AEH∽△ABC，设出矩形的长为2x，然后用x表示出EH、AK，根据相似三角形的性质即可推出矩形的边长，即可推出矩形的性质，（2）求出EH、AK的长度以后，根据（1）的论证道理，即可推出第二个矩形的面积，（3）同理，即可推出第三个矩形的面积，（4）根据第一、第二、第三个矩形面积推理过程即可推出第四个矩形的面积，通过分析总结，即可得出第n个矩形的面积．
解答：（1）设矩形EFGH的宽为x，长为2x，则由△AEH∽△ABC，
得：
=
，即：
=
，解得：x=3．
∴矩形EFGH的面积为3×6=18．（4分）
（2）由（1）得：EH=6，AK=3，
∴第二个矩形的面积为：
；（5分）
（3）根据（1）和（2）的结论，同理第三个矩形的面积为：
；（6分）
（4）根据（1）（2）（3）所得的结论可以推出第四个三角形的面积为：
，第n个三角形的面积为：
．
得：
| EH |
| BC |
| AK |
| AD |
| 2x |
| 12 |
| 6-x |
| 6 |
∴矩形EFGH的面积为3×6=18．（4分）
（2）由（1）得：EH=6，AK=3，
∴第二个矩形的面积为：
| 9 |
| 2 |
（3）根据（1）和（2）的结论，同理第三个矩形的面积为：
| 9 |
| 8 |
（4）根据（1）（2）（3）所得的结论可以推出第四个三角形的面积为：
| 9 |
| 25 |
| 9 |
| 22n-3 |
点评：本题主要考查矩形的性质、形似三角形的判定和性质，关键在于求证有关的三角形相似．
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