Question

已知：如图，等腰△ABC中，AB=BC，AE⊥BC于E，EF⊥AB于F，cos∠AEF=

4

5

，
（1）当BE=4时，求EF长．
（2）若CE=2，求EF的长．

Answer 1

分析：（1）求出∠B=∠AEF，求出cosB=

4

5

，根据cosB=

BF

BE

求出BF=2.4，根据勾股定理求出EF即可；
（2）根据cosB=

BF

BE

=

4

5

设BF=4k，则BE=5k，在Rt△BFE中，由勾股定理求出EF=3k，在Rt△AFE中求出AE=

15

4

k，由勾股定理求出AF=

9

4

k，根据AB=BC得出方程4k+

9

4

k=5k+2，求出k即可．

解答：解：（1）∵AE⊥BC，EF⊥AB，
∴∠AEB=∠AFE=90°，
∴∠B+∠BAE=90°，∠BAE+∠AEF=90°，
∴∠B=∠AEF，
∵cos∠AEF=

4

5

，
∴cosB=

4

5

，
在Rt△BFE中，∵cosB=

BF

BE

，BE=4，
∴BF=2.4，
由勾股定理得：EF=

42-2．42

=3.2；

（2）由（1）知cos∠AEF=cosB=

4

5

，
∵cosB=

BF

BE

=

4

5

，
∴设BF=4k，则BE=5k，在Rt△BFE中，由勾股定理得：EF=3k，
∵在Rt△AFE中，cos∠AEF=

EF

AE

=

4

5

，
∴

3k

AE

=

4

5

，
AE=

15

4

k，
由勾股定理得：AF=

( 15 4 k)2-(3k)2

=

9

4

k，
∵AB=BC，EC=2，AB=BF+AF，BC=BE+CE，
∴4k+

9

4

k=5k+2，
解得：k=

8

5

，
∴EF=3k=

24

5

．

点评：本题考查了解直角三角形，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用，主要考查学生的推理和计算能力．