Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；
（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：几何综合题,压轴题

分析：（1）分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BAC时，

BP

BA

=

BQ

BC

，当△BPQ∽△BCA时，

BP

BC

=

BQ

BA

，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可；
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，根据△ACQ∽△CMP，得出

AC

CM

=

CQ

MP

，代入计算即可；
（3）作PE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，先得出DF=

PE+QC

2

，再把QC=4t，PE=8-CM=8-4t代入求出DF，过BC的中点R作直线平行于AC，得出RC=DF，D在过R的中位线上，从而证出PQ的中点在△ABC的一条中位线上．

解答：解：（1）①当△BPQ∽△BAC时，
∵

BP

BA

=

BQ

BC

，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，
∴

5t

10

=

8-4t

8

，
∴t=1；
②当△BPQ∽△BCA时，
∵

BP

BC

=

BQ

BA

，
∴

5t

8

=

8-4t

10

，
∴t=

32

41

，
∴t=1或

32

41

时，△BPQ与△ABC相似；

（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=PBsinB=3t，BM=4t，MC=8-4t，

∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°，
∴△ACQ∽△CMP，
∴

AC

CM

=

CQ

MP

，
∴

6

8-4t

=

4t

3t

，
解得：t=

7

8

；

（3）如图，仍有PM⊥BC于点M，PQ的中点设为D点，再作PE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，

∵∠ACB=90°，
∴DF为梯形PECQ的中位线，
∴DF=

PE+QC

2

，
∵QC=4t，PE=8-BM=8-4t，
∴DF=

8-4t+4t

2

=4，
∵BC=8，过BC的中点R作直线平行于AC，
∴RC=DF=4成立，
∴D在过R的中位线上，
∴PQ的中点在△ABC的一条中位线上．

点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、中位线的性质等，关键是画出图形作出辅助线构造相似三角形，注意分两种情况讨论．