Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，过点B的切线BE∥AC，点P是优弧AC上一动点(不与A，C重合)，连接PA，PB，PC，PB交AC于D．

(1)求证：PB平分∠APC；

(2)当PD＝3，PB＝4时，求AB的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)AB=2.

【解析】

(1)根据切线的性质和平行线的性质证得∠BAC＝∠ACB，得出＝，即可证得结论；

(2)通过证得△ABD∽△PBA，根据相似三角形的性质即可求得．

(1)证明：∵BE是⊙O的切线，

∴∠EBC＝∠BAC，

∵BE∥AC，

∴∠EBC＝∠ACB，

∴∠BAC＝∠ACB，

∴AB＝BC，

∴＝，

∴∠APB＝∠CPB，

∴PB平分∠APC；

(2)解：∵∠APB＝∠CPB，∠BAD＝∠CPB，

∴∠BAD＝∠APB，

∵∠ABP＝∠DBA，

∴△ABD∽△PBA，

∴，

∴AB2＝PBBD＝PB(PB﹣PD)＝4×1＝4，

∴AB＝2．