Question

已知正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=

5-k

x

（k为常数，k≠0）的图象有一个交点的横坐标是2．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求这两个函数图象的交点坐标；
（3）若点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是反比例函数y=

5-k

x

图象上的两点，且x₁＜x₂，试比较y₁与y₂的大小．

Answer 1

分析：（1）由两函数图象的一个交点横坐标为2，将x=2代入正比例及反比例函数解析式，并令y相等得到关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出两函数解析式；
（2）将两函数解析式联立组成方程组，求出方程组的解，即可得到两交点的坐标；
（3）根据反比例函数图象位于第一、三象限，分三种情况：当A和B都在第一象限时，根据反比例函数在第一象限为减函数，根据x₁＜x₂，判断出y₁与y₂的大小；当A在第三象限，B在第一象限时，可得出A的纵坐标小于0，B的纵坐标大于0，比较出y₁与y₂的大小；当A和B都在第三象限时，根据反比例函数在第三象限为减函数，根据x₁＜x₂，判断出y₁与y₂的大小．

解答：解：（1）∵一个交点的横坐标为2，
∴将x=2代入正比例解析式得：y=2k，代入反比例解析式得：y=

5-k

2

，
消去y得：2k=

5-k

2

，解得：k=1，
则这两个函数的解析式分别为y=x和y=

4

x

；
（2）将两函数解析式联立得：

y=x y= 4 x

，
解得：

x=2 y=2

或

x=-2 y=-2

，
则两个交点分别为（2，2）和（-2，-2）；
（3）当x₁＜x₂＜0时，y₁＞y₂；当x₁＜0＜x₂时，y₁＜y₂；当0＜x₁＜x₂时，y₁＞y₂．

点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及反比例函数的图象与性质，要求两函数的交点，需要将两函数解析式联立组成方程组，求出方程组的解可得出交点坐标．