Question

【题目】如图，矩形中，，，点分别在边，上，点分别在，上，，交于点，记.

（1）若的值是1，当时，求的值.

（2）若的值是，求的最大值和最小值.

（3）若的值是3，当点是矩形的顶点，，时，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为；（3）的值为或.

【解析】

（1）作EH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O．证明△FHE≌△MQN（ASA），即可解决问题．

（2）由题意：2a≤MN≤a，a≤EF≤a，当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大，最大值=，当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为．

（3）连接FN，ME．由k=3，MP=EF=3PE，推出，推出，由△PNF∽△PME，推出=2，ME∥NF，设PE=2m，则PF=4m，MP=6m，NP=12m，接下来分两种情形①如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与B重合．②如图3中，当点N与C重合，分别求解即可．

（1）作，，如图1.

∵四边形为正方形，

∴，，∴.

∵，

∴，，

∴，∴，

∴.

（2）∵，∴.

由题意得，，，

当取最长时，可取到最短，此时的值最大，最大值为，

当取最短时，可取到最长，此时的值最小，最小值为.

（3）连结，，

∵，，

∴，∴，

∴，

∴，.

设，则，，.

①当点与点重合时， 如图2，点恰好与点重合，过点作于点，

∵，

∴，，，

∴.

②当点与点重合时，如图3，过点作于点，

则，，

∴，

∴.

∵，

∴.

又∵，

∴，∴，

∴.

综上所述，的值为或.