Question

如图，⊙O的半径为1，等腰直角三角形ABC的顶点B的坐标为（

2

，0），∠CAB=90°，AC=AB，顶点A在⊙O上运动．
（1）当点A运动到x轴的负半轴上时，试判断直线BC与⊙O位置关系，并说明理由；
（2）当直线AB与⊙O相切时，求AB所在直线对应的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）根据题意过点O作OM⊥BC于点M，求出OM的长，与半径比较得出位置关系．
（2）相切时有两种情况，在第一象限或者第四象限，连接OA，并过点A作AE⊥OB于点E，在Rt△OAE中求出OE，然后就能求出A点坐标，AB所在直线对应的函数关系式很容易就能求出．

解答：解：（1）直线BC与⊙O相切．…（1分）
如图1，过点O作OM⊥BC于点M，
∴∠OBM=∠BOM=45°，
∴OM=OB•sin45°=1，
∵⊙O的半径为l，
∴直线BC与⊙O相切；…（3分）

（2）①当点A位于第一象限时（如右图2）：
连接OA，并过点A作AE⊥OB于点E，
∵直线AB与⊙O相切，
∴∠OAB=90°，
又∵∠CAB=90°，
∴∠CAB+∠OAB=180°，
∴点O、A、C在同一条直线上
∴∠AOB=∠C=45°，即∠CBO=90°，
在Rt△OAE中，OE=AE=

1

2

OB=

2

2

．
点A的坐标为（

2

2

，

2

2

），…（5分）
∴过A、B两点的直线为y=-x+

2

．…（6分）

②当点A位于第四象限时（如右图3）：
过点作AE⊥BC于点E，
∵AB是切线，
∴OA⊥AB，
∵∠OAB=90°，
∴点O与点C重合，
∴点A的坐标为（

2

2

，-

2

2

），…（7分）
过A、B两点的直线为y=x-

2

．…（8分）
综上，当直线AB与⊙O相切时，AB所在直线对应的函数关系式为：．y=-x+

2

或y=x-

2

．

点评：此题考查了切线的性质与判定、直线与圆的位置关系、等腰直角三角形的性质以及待定系数法求一次函数解析式等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．