Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC，AB于点E，F．

（1）若∠B=30°，求证：以A，O，D，E为顶点的四边形是菱形；

（2）填空：若AC=6，AB=10，连接AD，则⊙O的半径为　　，AD的长为　 　．

Answer 1

【答案】(1) 见解析；（2）

【解析】

(1) 先通过证明△AOE为等边三角形, 得出AE=OD, 再根据“同位角相等, 两直线平行” 证明AE//OD, 从而证得四边形AODE是平行四边形, 再根据 “一组邻边相等的平行四边形为菱形” 即可得证．

(2) 利用在Rt△OBD中，sin∠B==可得出半径长度，在Rt△ＯＤＢ中BD=，可求得ＢＤ的长，由CD=CB﹣BD可得ＣＤ的长，在ＲＴ△ＡＣＤ中，AD=，即可求出AD长度．

解：（1）证明：

连接OE、ED、OD，

在Rt△ABC中，∵∠B=30°，

∴∠A=60°，

∵OA=OE，∴△AEO是等边三角形，

∴AE=OE=AO

∵OD=OA，

∴AE=OD

∵BC是圆O的切线，OD是半径，

∴∠ODB=90°，又∵∠C=90°

∴AC∥OD，又∵AE=OD

∴四边形AODE是平行四边形，

∵OD=OA

∴四边形AODE是菱形．

（2）

在Rt△ABC中，∵AC=6，AB=10，

∴sin∠B==，BC=8

∵BC是圆O的切线，OD是半径，

∴∠ODB=90°，

在Rt△OBD中，sin∠B==，

∴OB=OD

∵AO+OB=AB=10，

∴OD+OD=10

∴OD=

∴OB=OD=

∴BD=

=5

∴CD=CB﹣BD=3

∴AD=

=

=3．