Question

【题目】在平面直角坐标系中，O为原点，点A（1，0），点B（0， ），把△ABO绕点O顺时针旋转，得A′B′O，记旋转角为α．

（Ⅰ）如图①，当α=30°时，求点B′的坐标；

（Ⅱ）设直线AA′与直线BB′相交于点M．

如图②，当α=90°时，求点M的坐标；

②点C（﹣1，0），求线段CM长度的最小值．（直接写出结果即可）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）B′（， ）；（Ⅱ）①M（， ），②最小值=﹣1．

【解析】试题分析：（Ⅰ）记A′B′与x轴交于点H．只要求出OH，B′H即可解决问题；
（Ⅱ）①作MN⊥OA于N，只要求出ON，MN即可解决问题；
②首先证明：点M的运动轨迹为以AB为直径的⊙O′，当C、M、O′共线时，CM的值最小，最小值=CO-AB= -1；

试题解析：

（Ⅰ）记A′B′与x轴交于点H．

∵∠HOA′=α=30°，

∴∠OHA′=90°，

∴OH=OA′cos30°=，B′H=OB′cos30°=，

∴B′（， ）．

（Ⅱ）①∵OA=OA′，

∴Rt△OAA′是等腰直角三角形，

∵OB=OB′，

∴Rt△OBB′也是等腰直角三角形，

显然△AMB′是等腰直角三角形，

作MN⊥OA于N，

∵OB′=OA+AB′=1+2AN=，

∴MN=AN=，

∴M（， ）．

②如图③中，

∵∠AOA′=∠BOB′，OA=OA′，OB=OB′，

∴∠OAA′=∠OA′A=∠OBB′=∠OB′B，

∵∠OAA′+∠OAM=180°，

∴∠OBB′+∠OAM=180°，

∴∠AOB+∠AMB=180°，

∵∠AOB=90°，

∴∠AMB=90°，

∴点M的运动轨迹为以AB为直径的⊙O′，

当C、M、O′共线时，CM的值最小，最小值=CO′﹣AB=﹣1．