Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）求证：AC2=COCP；

（3）若PD=，求⊙O的直径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）证明见解析；

（3）⊙O的直径为．

【解析】试题分析：（1）连结OA、AD，如图，利用圆周角定理得到∠CAD=90°，∠ADC=∠B=60°，则∠ACD=30°，再利用AP=AC得到∠P=∠ACD=30°，接着根据圆周角定理得∠AOD=2∠ACD=60°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠OAP=90°，于是根据切线的判定定理可判断AP与 O相切；

（2）通过△ACO∽△PCA，得到=，由于AC=AP于是得到结论；

（3）连接AD，证得△AOD是等边三角形，得到∠OAD=60°，求得AD=PD=，得到OD=，即可得到结论．

试题解析：（1）连结OA、AD，如图，

∵CD为直径，

∴∠CAD=90°，

∵∠ADC=∠B=60°，

∴∠ACD=30°，

∵AP=AC，

∴∠P=∠ACD=30°，

∵∠AOD=2∠ACD=60°，

∴∠OAP=180°﹣60°﹣30°=90°，

∴OA⊥PA，

∴AP与⊙O相切；

（2）∵∠P=∠ACP=∠CAO=30°，

∴△ACO∽△PCA，

∴=，

∵AC=AP

∴AC2=CO．CP；

（3）∵AO=DO，∠ADC=60°，

∴△AOD是等边三角形，

∴∠OAD=60°，

∴∠PAD=30°，

∴∠P=∠PAD，

∴AD=PD=，

∴OD=，

∴⊙O的直径CD=2．