题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，抛物线
与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），直线
经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是x轴下方抛物线上一点，连接AC，过点P作PQ∥AC交BC于点Q，过点Q作x轴的平行线，过点P作y轴的平行线，两条直线相交于点K，PK交BC于点H，设QK的长为t，PH的长为d，求d与t之间的函数关系式；（不要求写出自变量t的取值范围）
（3）在（2）的条件下，PK交x轴于点R，过点R作RT⊥PQ，垂足为T，当PK=
PT时，将线段QT绕点Q逆时针旋转90
得到线段QL，M是线段PQ上一动点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N，连接ON、ML，当ML∥ON时，求N点坐标．
【答案】（1）y=
-4x+3（2）
（3）
【解析】试题分析：
（1）由已知条件易得点C的坐标为（0，3），把B、C两点坐标代入二次函数的解析式可求得b、c的值，即可得到二次函数的解析式；
（2）由（1）中所求二次函数的解析式易得点A的坐标为（1，0），结合点C（0，3）的坐标可得tan∠ACO=
，由OB=OC易得∠OCB=∠OBC=45°，结合PK∥y轴，QK∥x轴可得∠KHQ=∠KQH=45°，由此可得KH=QK=t，由PQ∥AC可得∠ACB=∠PQB，结合∠OCB=∠PHB=∠PQB+∠QPK，可得∠QPK=∠ACO，则tan∠QPK=
，由此可得d=2t；
（3）如下图2，延长
交
于点
，延长
交直线
于点
，过点
作
轴，垂足为
，延长
交
于点
，先由已知条件解PR=t，OR=3-t，由此可得点P的坐标为（3-t，-t），将点P的坐标代入
解得t1=0（舍去），t2=1，由此可得
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
；结合已知条件进一步可求得点D的坐标为
，由此即可求得直线OD的解析式为y=x，再由已知求出直线AC的解析式即可由此求出直线OD和AC的交点N的坐标了.
试题分析：
（1）把x=0代入y=-x+3，得y=3,
∵抛物线
经过
， 
∴
解得
∴
， 
∴抛物线为y=
-4x+3
（2）如下图1，令
，即
，解得
，∴ 
点坐标为
，∴ 
，∵ 
点坐标为
，∴ 
，∴
∵
， 
，∴ 
， ∴
， ∵
轴，
∴
，∵ 
轴， 
轴，∴
，
∴
，∴ 
∵
，∴ 
，∵ 
，
∴
，
即
∴
， ∵
，
∴
span>
∵
，∴ 
；
（3）如下图2，延长
交
于点
，延长
交直线
于点
，过点
作
轴，垂足为
，延长
交
于点
，
∵
， 
， 
， 
，
∴
，
∴
， 
， 
，
∵
，
∴
∵
，
∴
， 
，
∴
,
将
代入
中得， 
，
解得
(舍)， 
，
∴
， 
， 
， 
， 
， 
，
， 
， 
， 
，
∵
，
∴
，
∴
， 
，
∴
∴
，
∵
，
∴
，
，由题意知，四边形
是矩形，
∴
，
由旋转知， 
， 
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
， 
，
∵
，
∴
，
∵
， 
，
∴
∴
，
∵
∴
， 
，由题意知四边形
为矩形， 
， 
， 
，
，
∴
设直线
的解析式为
，将
代入得
，解得
，
∴直线
的解析式为
，设直线
的解析式为
，将
， 
代入得
，解得
，
∴直线
的解析式为
，令
，解得
，
∴
点坐标为
.
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