Question

4．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，以AD为直径的半圆与BC相切于E点．求证：AB•CD=BE•EC．

Answer 1

分析 连结AE、ED，由平行线的性质推出∠B=∠C，由AD为直径，得出∠AED=90°，从而证得∠AEB=∠CDE=90°-∠DEC，根据相似三角形的判定证得△ABE∽△ECD，由相似三角形的性质即可证得结论．

解答 解：连结AE、ED，
∵AB∥CD，∠B=90°，
∴∠C=90°，
∴∠B=∠C，
∵AD为直径，
∴∠AED=90°，
∠AEB=∠CDE=90°-∠DEC，
∴△ABE∽△ECD，
∴$\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CD}$，
∴AB•CD=BE•EC．

点评 本题主要考查了直径所对的圆周角的性质，相似三角形的判定和性质，能证得∠AEB=∠CDE是解题的关键．