Question

15．已知抛物线C₁：y=-x²+4x-3，把抛物线C₁先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线C₂，
将抛物线C₁和抛物线C₂这两个图象在x轴及其上方的部分记作图象M．若直线y=kx+$\frac{1}{2}$与图象M至少有2个不同
的交点，则k的取值范围是0≤k＜$\frac{7}{10}$．

Answer 1

分析 首先配方得出二次函数顶点式，求得抛物线C₁的顶点坐标，进而利用二次函数平移规律得出抛物线C₂，求得顶点坐标，把两点顶点坐标代入即可求得．

解答 解：y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，
∴顶点（2，1）
则将抛物线y=-x²+4x-3先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，
得到的新的抛物线的解析式为：y=（x-5）²+4．
∴顶点（5，4），
把（2，1）代入y=kx+$\frac{1}{2}$（k≥0）得，1=2k+$\frac{1}{2}$，
解得k=$\frac{1}{4}$，
把（5，4）代入y=kx+$\frac{1}{2}$（k≥0）得，4=5k+$\frac{1}{2}$，
解得k=$\frac{7}{10}$，
∴直线y=kx+$\frac{1}{2}$（k≥0）与图象M至少有2个不同的交点，则k的取值范围是0≤k＜$\frac{7}{10}$．
故答案为：0≤k＜$\frac{7}{10}$．

点评 此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，正确利用配方法求出二次函数顶点式的形式是解题关键．