Question

如图1，点O₁在y轴负半轴上，⊙O₁交坐标轴于A、B、C、D点，DO=3CO，AB=2

3

．
（1）求⊙O₁的半径；
（2）如图2，点P是劣弧AB上一点，连接PA、PD、PB，试给出线段PA、PD、PB之间的数量关系并证明；
（3）如图3，点M、N同时从点A出发，其中点M沿射线AC运动，速度为每秒

3

个单位，点N沿射线AO运动，速度为每秒2个单位，设同时运动了t秒，是否存在以M为圆心、MN为半径的⊙M与y轴相切？若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据设CO=x，则OD=3x，O₁A=O₁C=2x，O₁O=x，利用勾股定理求出⊙O₁的半径；
（2）根据已知得出AC的长，进而得出，△O₁AC是等边三角形，再证明△PAB≌△NDB（SAS），得出BN=BP，△PNB是等边三角形，PB=BN=PN，即可得出答案；
（3）首先得出△CAO∽△NAM，进而利用MN=t．①当⊙M在y轴左侧，②当⊙M在y轴右侧时分别求出即可．

解答：（1）解：连接O₁A，设CO=x，
则OD=3x，O₁A=O₁C=2x，O₁O=x，
在Rt△O₁OA中，
AO=

1

2

AB=

3

，
（2x）²=（

3

）²+x²
∴x=1，
⊙O₁的半径=2x=2．

（2）PD=PA+PB．
证明：连接AC，
则AC=

12+( 3 )2

=2，
∴△O₁AC是等边三角形，
∴∠APD=∠DPB=60°，连接AD、DB，
在DP上截取DN=AP，连接BN，
则BD=2

3

=AB，∠PAB=∠PDB，
∵在△PAB和△NDB中，

AB=BD ∠PAB=∠BDP AP=DN

，
∴△PAB≌△NDB（SAS），
∴BN=BP，又∠DPB=60°，
∴△PNB是等边三角形，PB=BN=PN，
∴PA+PN=PD，
∴PA+PB=PD；

（3）解：连接MN．
OA=

3

，OC=1，AC=2．AM=

3

t，AN=2t，
∴

OA

AC

=

AM

AN

=

3 t

2t

=

3

2

，
又∵∠CAO=∠MAN，
∴△CAO∽△NAM                        
∴MN=t．
①当⊙M在y轴左侧作MH⊥y轴于H，则

MC

CA

=

MH

AO

=

MN

AO

即

2- 3 t

2

=

t

3

∴t=

2

5

3

，
②当⊙M在y轴右侧时，作MH⊥y轴于H．

3 t-2

2

=

t

3

，
∴t=2

3

∴综上所述，当t=

2

5

3

或t=2

3

时⊙M 与y轴相切．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理和等边三角形的判定与性质等知识，利用数形结合和分类讨论的思想得出是解题关键．