题目内容

已知：如图1，点O₁在x轴的正半轴上，⊙O₁与x轴交于C、D两点，半径为4的⊙O与x轴的负半轴交于G点．⊙O与⊙O₁的交点A、B在y轴上，设⊙O₁的弦AC的延长线交⊙O于F点，连接GF，且AF=2 $数学公式$ GF
（1）求证：C为线段OG的中点；
（2）连接AO₁，作⊙O₁的弦DE，使DE∥AO₁，求E点的坐标；
（3）如图2，线段EA、EB（或它们的延长线）分别交⊙O于点M、N．问：当点E在（不含端点A、B）上运动时，线段MN的长度是否会发生变化？试证明你的结论．

（1）证明：连接AG，
∵OA⊥OG，OA=OG，
∴∠AGC=∠AFG=45°，∠GAC=∠FAG，
∴△AGC∽△AFG，
又AF=2 $\text{[math]}$ GF，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵⊙O的半径为4，
∴AG=4 $\text{[math]}$ ，
∴GC=2= $\text{[math]}$ OG，
即点C为线段OG的中点；

（2）解：连接OE交AO₁于点H，作EK⊥CD于K，
∵AO₁∥ED，DE⊥CE，
∴O₁A⊥CE，
∵OA=4，OC= $\text{[math]}$ OG=2，OA²=OC×OD，
∴OD=8，O₁O=3，
∴Rt△AOO₁≌Rt△CHO₁，
∴O₁H=O₁O=3，
又∵O₁H∥DE，CO₁=O₁D，
∴ED=2HO₁=6，
∴sin∠EDK=sin∠AO₁O= $\text{[math]}$ ，cos∠EDK= $\text{[math]}$ ，
在Rt△EDK中，EK=ED×sin∠EDK=6× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
KD=ED×cos∠EDK=6× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
OK=OD-KD= $\text{[math]}$ ，
故，点E的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；

（3）解：当点E在上运动时，MN的长度不变；
在△EMN和△EBA中，∵∠E=∠E，∠EMN=∠EBA，
∴△EMN∽△EBA．
∴ $\text{[math]}$ ，
即MN= $\text{[math]}$ ×AB，
连接AN，则AN⊥BE，∠ANE=90°， $\text{[math]}$ =cos∠E，MN=AB×cos∠E=8cos∠E，
当点E在上运动时，∠E的大小不变，8cos∠E是常量，故MN的长度不变．
分析：（1）证明：连接AG，易得△AGC∽△AFG，又AF=2 $\text{[math]}$ GF，可得⊙O的半径为4，则AG=4 $\text{[math]}$ ，
GC=2= $\text{[math]}$ OG，即可得结论；
（2）连接OE交AO₁于点H，作EK⊥CD于K，易得Rt△AOO₁≌Rt△CHO₁，又由O₁H∥DE，且CO₁=O₁D，可得ED=2HO₁=6，有三角函数的定义可得EK与OKD的值，进而可得点E的坐标；
（3）当点E在上运动时，MN的长度不变；易得△EMN∽△EBA，进而连接AN，则AN⊥BE，∠ANE=90°， $\text{[math]}$ =cos∠E，MN=AB•cos∠E=8cos∠E，分析可得结论．
点评：本题主要考查弦切角定理，相似三角形的判定及平行线的性质，难度较大．