题目内容
（2000•武汉）已知：如图1，点O1在x轴的正半轴上，⊙O1与x轴交于C、D两点，半径为4的⊙O与x轴的负半轴交于G点．⊙O与⊙O1的交点A、B在y轴上，设⊙O1的弦AC的延长线交⊙O于F点，连接GF，且AF=2
GF（1）求证：C为线段OG的中点；
（2）连接AO1，作⊙O1的弦DE，使DE∥AO1，求E点的坐标；
（3）如图2，线段EA、EB（或它们的延长线）分别交⊙O于点M、N．问：当点E在（不含端点A、B）上运动时，线段MN的长度是否会发生变化？试证明你的结论．
【答案】分析：（1）证明：连接AG，易得△AGC∽△AFG，又AF=2
GF，可得⊙O的半径为4，则AG=4
，
GC=2=
OG，即可得结论；
（2）连接OE交AO1于点H，作EK⊥CD于K，易得Rt△AOO1≌Rt△CHO1，又由O1H∥DE，且CO1=O1D，可得ED=2HO1=6，有三角函数的定义可得EK与OKD的值，进而可得点E的坐标；
（3）当点E在上运动时，MN的长度不变；易得△EMN∽△EBA，进而连接AN，则AN⊥BE，∠ANE=90°，
=cos∠E，MN=AB•cos∠E=8cos∠E，分析可得结论．
解答：
（1）证明：连接AG，
∵OA⊥OG，OA=OG，
∴∠AGC=∠AFG=45°，∠GAC=∠FAG，
∴△AGC∽△AFG，
又AF=2
GF，
∴
，
∵⊙O的半径为4，
∴AG=4
，
∴GC=2=
OG，
即点C为线段OG的中点；
（2）解：连接OE交AO1于点H，作EK⊥CD于K，
∵AO1∥ED，DE⊥CE，
∴O1A⊥CE，
∵OA=4，OC=
OG=2，OA2=OC×OD，
∴OD=8，O1O=3，
∴Rt△AOO1≌Rt△CHO1，
∴O1H=O1O=3，
又∵O1H∥DE，CO1=O1D，
∴ED=2HO1=6，
∴sin∠EDK=sin∠AO1O=
，cos∠EDK=
，
在Rt△EDK中，EK=ED×sin∠EDK=6×
=
，
KD=ED×cos∠EDK=6×
=
，
OK=OD-KD=
，
故，点E的坐标为（
，
）；
（3）解：当点E在上运动时，MN的长度不变；
在△EMN和△EBA中，∵∠E=∠E，∠EMN=∠EBA，
∴△EMN∽△EBA．
∴
，
即MN=
×AB，
连接AN，则AN⊥BE，∠ANE=90°，
=cos∠E，MN=AB×cos∠E=8cos∠E，
当点E在上运动时，∠E的大小不变，8cos∠E是常量，故MN的长度不变．
点评：本题主要考查弦切角定理，相似三角形的判定及平行线的性质，难度较大．
GF，可得⊙O的半径为4，则AG=4，GC=2=
OG，即可得结论；（2）连接OE交AO1于点H，作EK⊥CD于K，易得Rt△AOO1≌Rt△CHO1，又由O1H∥DE，且CO1=O1D，可得ED=2HO1=6，有三角函数的定义可得EK与OKD的值，进而可得点E的坐标；
（3）当点E在上运动时，MN的长度不变；易得△EMN∽△EBA，进而连接AN，则AN⊥BE，∠ANE=90°，
=cos∠E，MN=AB•cos∠E=8cos∠E，分析可得结论．解答：
（1）证明：连接AG，∵OA⊥OG，OA=OG，
∴∠AGC=∠AFG=45°，∠GAC=∠FAG，
∴△AGC∽△AFG，
又AF=2
GF，∴
，∵⊙O的半径为4，
∴AG=4
，∴GC=2=
OG，即点C为线段OG的中点；
（2）解：连接OE交AO1于点H，作EK⊥CD于K，
∵AO1∥ED，DE⊥CE，
∴O1A⊥CE，
∵OA=4，OC=
OG=2，OA2=OC×OD，∴OD=8，O1O=3，
∴Rt△AOO1≌Rt△CHO1，
∴O1H=O1O=3，
又∵O1H∥DE，CO1=O1D，
∴ED=2HO1=6，
∴sin∠EDK=sin∠AO1O=
，cos∠EDK=，在Rt△EDK中，EK=ED×sin∠EDK=6×
=，KD=ED×cos∠EDK=6×
=，OK=OD-KD=
，故，点E的坐标为（
，）；（3）解：当点E在上运动时，MN的长度不变；
在△EMN和△EBA中，∵∠E=∠E，∠EMN=∠EBA，
∴△EMN∽△EBA．
∴
，即MN=
×AB，连接AN，则AN⊥BE，∠ANE=90°，
=cos∠E，MN=AB×cos∠E=8cos∠E，当点E在上运动时，∠E的大小不变，8cos∠E是常量，故MN的长度不变．
点评：本题主要考查弦切角定理，相似三角形的判定及平行线的性质，难度较大．
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）÷（
）的值．