Question

1．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：BD=AF；
（2）判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据AAS证△AFE≌△DBE，即可得出结论；
（2）利用（1）中全等三角形的对应边相等得到AF=BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD=DC，从而得出结论．

解答 （1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE，BD=CD，
在△AFE和△DBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DBE}&{\;}\\{∠FEA=∠BED}&{\;}\\{AE=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴BD=AF；
（2）解：四边形ADCF是菱形；理由如下：
由（1）知，AF=DB．
∵DB=DC，
∴AF=CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD=DC=$\frac{1}{2}$BC，
∴四边形ADCF是菱形．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．