题目内容
【题目】综合与实践：
问题情境：矩形旋转中的数学
已知在矩形
中，
，
，以点
为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为
，得到矩形
，点
、点
、点
的对应点分别为点
、点
、点
．
操作猜想：
（1）如图①，当点落在
边上时，求线段
的长度；
深入探究：
（2）如图②，当点落在线段
上时，
与相交于点
，连接
，求线段
的长度；
（3）请从，两题中任选一题作答，我选______题．
题：如图③，设点
为边
的中点，连接
，
，
，在矩形旋转过程中，
的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．
题：如图④，设点为矩形对角线交点，连接，
，在矩形旋转过程中，
的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．
【答案】（1）CE= 2-
；（2）DH=
；（3）A题：存在最大值
+1；B题：存在最大值
．
【解析】
（1）由旋转的性质可得AE=AB，利用勾股定理可求出DE的长，即可得CE的长；
（2）如图，由旋转的性质及矩形性质可得AE=CD，∠AEF=∠B=90°，根据点
落在线段
上可得AE⊥CF，利用HL可证明△ACD≌△CAE，可得∠CAH=∠ACH，即可证明AH=CH，在Rt△ADH中，利用勾股定理列方程求出DH的长即可；
（3）A题：如图，连接PA，作BM⊥PE，交PE延长线于M，由点P为FG中点可得PF=PG=1，利用勾股定理可得PA=PE=，即可得出S△BEP=
PE·BM=
BM，可得当BM最大时，△BEP的面积最大，根据三角形的三边关系及直角三角形的性质求出BM的最大值即可得答案；
B题：如图，过点B作BM⊥FA，交FA延长线于M，利用勾股定理可求出AF的长，根据矩形性质可求出PF的长，可得出S△BFP=PF·BM，可得BM最大时△BFP的面积最大，利用三角形的三边关系得出BM的最大值即可得答案．
（1）∵以点
为旋转中心，逆时针旋转矩形
，得到矩形
，
，
，
∴AE=AB=CD=2，AD=BC=1，
∴DE=
=，
∴CE=CD-DE=2-．
（2）以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，得到矩形，，，
∴AE=AB=CD=2，∠AEF
∵点落在线段上，
∴∠AEC=90°，
在Rt△ACD和Rt△CAE中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△CAE，
∴∠CAH=∠ACH，
∴AH=CH，
在Rt△ADH中，AH2=DH2+AD2，
∴（CD-DH）2=DH2+AD2，即（2-DH）2=DH2+12，
解得：DH=．
（3）A题：
如图，连接PA，作BM⊥PE，交PE延长线于M，
∵点P为GF中点，
∴PG=PF=1，
∴PA=PE=
=，
∴S△BEP=PE·BM=BM，
∴当BM最大时，△BEP的面积最大，
∵BM≤BP，BP≤AB+AP=2+，
∴BM≤2+，即BM的最大值为2+，
∴△BEP的面积的最大值为：BM=×（2+）=+1．
B题：
如图，过点B作BM⊥FA，交FA延长线于M，
∵AB=2，BC=1，矩形AEFG由矩形ABCD旋转所得，
∴AF=
=
，
∴PF=AF=，
∴S△BFP=PF·BM=
BM，
∴当BM最大时，△BFP的面积最大，
∵BM≤AB，
∴BM的最大值为AB=2，
∴△BFP的面积的最大值为BM=×2=．
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