Question

（2010•藁城市一模）在图1和图2中，△ABC和△DEC都是等边三角形，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．
（1）如图1，点D、E分别在AC、BC的延长线上，求证：△FGH是等边三角形．
（2）将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，△FGH还是等边三角形吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根据等边三角形的性质可得DE=EC=CD，AC=CB=AB，进而得到AC+CD=CB+EC=ED+AB，再利用三角形的中位线定理和梯形的中位线定理可证出HG=HF=FG，进而可证出结论；
（2）根据题目条件得出△ACD≌△BCE，进而得出四边形HFGM是含60°角的菱形，即可得出△HFG是有一个60°角的等腰三角形，则△HFG是等边三角形．

解答：（1）证明：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，
∴DE=EC=CD，AC=CB=AB，
∴AC+CD=CB+EC=ED+AB，
∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，
∴FG=

1

2

EB，HF=

1

2

AD，HG=

1

2

（DE+AB），
∴HG=HF=FG，
∴△HFG是等边三角形；

（2）证明：连接AD，BE并取AB中点M，连MH，MG
∵△ABC和△DEC都是等边三角形，
∴∠ACD=60°+∠BCD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中

EC=DC ∠ECB=∠DCA BC=AC

∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，
∴∠CEB=∠CDA
∴AD，BE相交成60°（有一对对顶角的三角形）
∵F，G分别是△BDE，DE，DB上的中点，
∴FG是中位线≥FG

∥

.

1

2

BE，
同理  FH

∥

.

1

2

AD；  MG

∥

.

1

2

BE；  MG

∥

.

1

2

AD
∴FG=FH=MH=MG
∵AD，BE相交成60°
∴∠HFG=60°
∴四边形HFGM是含60°角的菱形
∴△HFG是有一个60°角的等腰三角形
∴△HFG是等边三角形．

点评：此题主要考查了等边三角形的性质与判定，关键是熟练掌握三角形与梯形的中位线定理．