Question

【题目】如图，已知AB=12，点C、D在AB上，且AC=DB=2，点P从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），以AP、BP为斜边在AB的同侧画等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，连接EF，取EF的中点G，下列说法中正确的有（ ）

①△EFP的外接圆的圆心为点G；

②四边形AEFB的面积不变；

③EF的中点G移动的路径长为4．

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

Answer 1

【答案】C

【解析】

试题如图，分别延长AE、BF交于点H．

∵等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，∴∠A=∠FPB=45°，∠B=∠EPA=45°，∴AH∥PF，BH∥PE，∠EPF=180°﹣∠EPA﹣∠FPB=90°，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分．∵G为EF的中点，∴G也为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，∴G的运行轨迹为△HCD的中位线MN．∵CD=12﹣2﹣2=8，∴MN=4，即G的移动路径长为4．故④EF的中点G移动的路径长为4，正确；

∵G为EF的中点，∠EPF=90°，∴①△EFP的外接圆的圆心为点G，正确，∴①④正确．

连接PG，∵PG≠PF，∴△EFP的外接圆与AB相交，故②错误；

∵点P从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），易证∠EPF=90°，所以四边形面积便是三个直角三角形的面积和，设cp=x，则四边形面积S=，∴AP不断增大，∴四边形的面积S也会随之变化，故③错误．

故选B．