Question

如图，AB是⊙O的直径，经过O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连接AC交OP于点D，连接BD．
（1）求证：△ABC∽△POA；
（2）若OB=3，OP=

9

2

，求线段BC与BD的长．

Answer 1

分析：（1）根据直径所对的圆周角为直角得到∠C=90°，再根据切线的性质得到∠PAO=∠C=90°，由OP∥BC，根据平行线的性质得∠AOP=∠ABC，然后根据相似三角形的判定方法即可得到结论；
（2）利用△ABC∽△POA得到BC：OA=AB：OP，即BC：3=6：

9

2

，可计算出BC=4，在Rt△ACB中，根据勾股定理可计算出AC=2

5

，又OD∥BC，O点为AB的中点，得到OD为△ABC的中位线，则CD=

1

2

AC=

5

，在Rt△BCD中，再根据勾股定理可计算出BD．

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵PA是⊙O 的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠PAO=∠C，
∵OP∥BC，
∴∠AOP=∠ABC，
∴△ABC∽△POA，
（2）解：∵△ABC∽△POA，
∴BC：OA=AB：OP，即BC：3=6：

9

2

，
∴BC=4，
在Rt△ACB中，AC=

AB2-BC2

=

62-42

=2

5

，
∵OD∥BC，O点为AB的中点，
∴点D为AC的中点，即CD=

1

2

AC=

5

，
在Rt△BCD中，BD=

BC2+CD2

=

42+( 5 )2

=

21

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握直径所对的圆周角为直角；圆的切线垂直于过切点的半径；几何计算中常常运用三角形相似和勾股定理等知识．