Question

如图所示，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q。

（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：AQ·PQ=OQ·BQ；
（3）设∠AOQ=α，若cosα=，OQ=15，求AB的长。

Answer 1

解：（1）证明：连接OP，与AB交与点C ∵PA=PB，OA=OB，OP=OP， ∴△OAP≌△OBP（SSS）， ∴∠OBP=∠OAP， ∵PA是⊙O的切线，A是切点， ∴∠OAP=90°， ∴∠OBP=90°，即PB是⊙O的切线；
（2）∵∠Q=∠Q，∠OAQ=∠QBP=90°， ∴△QAO∽△QBP， ∴，即AQ·PQ=OQ·BQ；
（3）在Rt△OAQ中，∵OQ=15，cosα=， ∴OA=12，AQ=9， ∴QB=27； ∵， ∴PQ=45，即PA=36， ∴OP=； ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴OP⊥AB，AC=BC， ∴PA·OA=OP·AC，即36×12=·AC， ∴AC=，故AB=。