Question

如图所示，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O 上一点，且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：AQ•PQ=OQ•BQ；
（3）设∠AOQ=α，若cosα=

4

5

，OQ=15，求AB的长．

Answer 1

分析：（1）连接OP，与AB交于点C．欲证明PB是⊙O的切线，只需证明∠OBP=90°即可；
（2）根据相似三角形的判定定理AA证明△QAO∽△QBP，然后由相似三角形的对应边成比例求得

AQ

BQ

=

OQ

PQ

，即AQ•PQ=OQ•BQ；
（3）在Rt△OAQ中根据勾股定理和三角函数的余弦值的定义解得QB=27，利用（1）的结论求得PQ=45，即PA=36，又由勾股定理知OP=12

10

；然后由切线的性质求AB的长．

解答：（1）证明：连接OP，与AB交于点C．
∵PA=PB，OA=OB，OP=OP，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OBP=∠OAP，
∵PA是⊙O的切线，A是切点，
∴∠OAP=90°，
∴∠OBP=90°，即PB是⊙O的切线；

（2）证明：∵∠Q=∠Q，∠OAQ=∠QBP=90°，
∴△QAO∽△QBP，
∴

AQ

BQ

=

OQ

PQ

，即AQ•PQ=OQ•BQ；

（3）连OP并交AB于点C，
在Rt△OAQ中，∵OQ=15，cosα=

4

5

，
∴OA=12，AQ=9，
∴QB=27；
∵

AQ

BQ

=

OQ

PQ

，
∴PQ=45，即PA=36，
∴OP=12

10

；
∵∠APO=∠APO，∠PAO=∠PCA=90°
∴△PAC∽△POA，
∴

PA

PO

=

AC

AO

，
∴PA•OA=OP•AC，即36×12=12

10

•AC，
∴AC=

18

5

10

，故AB=

36

5

10

．

点评：本题综合考查了切线的判定与性质、相似三角形与全等三角形的判定与性质、解直角三角形以及勾股定理．图形中的线段的求法，可以通过特殊角的三角函数值、切线的有关知识及勾股定理求解．