题目内容
（1）求满足y4+2x4+1=4x2y的所有整数对（x，y）；（2）求出所有满足5（xy+yz+zx）=4xyz的正整数解．
分析：（1）首先将y4+2x4+1=4x2y通过加减项，完全平方式转化为2（x2-y）2+（y2-1）2=0，从而根据平方和等于0的特点，先求得y的值，进而求得x的值．
（2）首先将5（xy+yz+zx）=4xyz转化为
+
+
=
，将分母先等于2、3、4、5，求另两个分别的值，并根据求得的值，代入检验，是否符合题意．
（2）首先将5（xy+yz+zx）=4xyz转化为
| 1 |
| x |
| 1 |
| y |
| 1 |
| z |
| 4 |
| 5 |
解答：解：（1）∵y4+2x4+1=4x2y?（2x4-4x2y+2y2）+（y4-2y2+1）=0?2（x2-y）2+（y2-1）2=0，
∴x2-y=0，y2-1=0，
∴原方程的所有整数解为（1，1）、（-1，1）；
（2）∵5（xy+yz+zx）=4xyz?
+
+
=
，
∵4/5=（1/5）+（3/5）=（1/5）+（6/10）=（1/5）+（1/10）+（5/10）=（1/2）+（1/5）+（1/10）．
?x，y，z的值循环为2，5，10，
∵
=
+
=
+
=
+
+
=
+
+
，
=
+
=
+
+
=
+
+
，
∴所有满足5（xy+yz+zx）=4xyz的正整数解为（5，10，2）、（5，2，10）、（10，5，2）、（10，2，5）、（2，10，5）、（2，5，10）、（4，20，2）、（4，2，20）、（2，4，20）、（2，20，4）、（20，2，4）、（20，4，2）．
∴x2-y=0，y2-1=0，
∴原方程的所有整数解为（1，1）、（-1，1）；
（2）∵5（xy+yz+zx）=4xyz?
| 1 |
| x |
| 1 |
| y |
| 1 |
| z |
| 4 |
| 5 |
∵4/5=（1/5）+（3/5）=（1/5）+（6/10）=（1/5）+（1/10）+（5/10）=（1/2）+（1/5）+（1/10）．
?x，y，z的值循环为2，5，10，
∵
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 6 |
| 10 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 10 |
| 5 |
| 10 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 10 |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 4 |
| 11 |
| 20 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 20 |
| 10 |
| 20 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 20 |
| 1 |
| 2 |
∴所有满足5（xy+yz+zx）=4xyz的正整数解为（5，10，2）、（5，2，10）、（10，5，2）、（10，2，5）、（2，10，5）、（2，5，10）、（4，20，2）、（4，2，20）、（2，4，20）、（2，20，4）、（20，2，4）、（20，4，2）．
点评：本题考查一元二次方程整数根及有理根．解决本题的关键是首先根据方程的特点，将两个方程进行灵活变形，再求解方程．
练习册系列答案
口算能手系列答案
相关题目