Question

若x，y，z满足x+y+Z=1，x²+y²+z²=2，x³+y³+z³=3，求x⁴+y⁴+z⁴的值．

Answer 1

分析：首先根据（x+y+z）²=x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx求出xy+yz+zx=-

1

2

，然后根据x³+y³+z³-3xyz=（x+y+z）（x²+y²+z²-xy-yz-zx）求出xyz=

1

6

，再根据x⁴+y⁴+z⁴=（x²+y²+z²）²-2（x²y²+y²z²+z²x²）即可求出答案．

解答：解：∵（x+y+z）²=x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx，
∴xy+yz+zx=

1

2

（1-2）=-

1

2

，
∵x³+y³+z³-3xyz=（x+y+z）（x²+y²+z²-xy-yz-zx），
∴xyz=

1

6

，
x⁴+y⁴+z⁴=（x²+y²+z²）²-2（x²y²+y²z²+z²x²），
∵x²y²+y²z²+z²x²=（xy+yz+zx）²-2xyz（x+y+z）=

1

4

-

1

3

=-

1

12

，
∴x⁴+y⁴+z⁴=（x²+y²+z²）²-2（x²y²+y²z²+z²x²）=4-2×（-

1

12

）=

25

6

．

点评：本题主要考查立方公式的知识点，解答本题的关键是把x⁴+y⁴+z⁴转化成（x²+y²+z²）²-2（x²y²+y²z²+z²x²）的等式，此题有一定的难度．