Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，直线l满足条件：点A、B到直线l的距离相等，并等于点C到直线l的距离的一半．问这样的直线l有几条？请画图说明，并求点C到直线l的距离．

Answer 1

分析：根据点A、B到直线l的距离相等，并等于点C到直线l的距离的一半，得出平行于AB的两条直线，再利用等腰三角形的性质得出过AB中点以及过l₁与AC交点D的直线，进而得出另一条直线，利用三角形面积求出即可．

解答：解：如图所示：这样的直线l有4条；
过C作CM⊥l₁，垂足分别为M、N，交AB于O，
∵l₂∥l₁∥AB，
∴CM⊥l₂，
∵AC=BC=6，
∴CO⊥AB，
∵∠ACB=90°，
∴∠B=45°，
∴AB=

6 2+62

=6

2

，
CO=

1

2

AB=3

2

，
∵点A、B到直线l的距离相等，并等于点C到直线l的距离的一半，
∴CM=2

2

，
即C到直线l的距离为2

2

，
同理可得出：ON=CO=3

2

，CN=6

2

，
将l₁与AC交点D，与O连接，
∵CM=2

2

，l₂∥l₁∥AB，
∴CM=DM=2

2

，MO=3

2

-2

2

=

2

，
∵∠DMO=90°，
∴DO=

DM2+MO2

=

10

，
作CE⊥DO，AF⊥DO交OD延长线于点F，
∵点A、B到直线l的距离相等，并等于点C到直线l的距离的一半，
∴AF=

1

2

EC，
∴S_△CDO=2S_△ADO，
∴S_△CDO=

2

3

S_△ACO=

2

3

×AO•CO=

2

3

×3

2

×3

2

=12，
S_△CDO=

1

2

×CE×DO=

1

2

×EC×

10

=12，
解得：CE=

6 10

5

，
同理可得：与CO对称的直线l₃，
此时C到直线距离为

6 10

5

，
综上所述：C到直线l的距离为2

2

、6

2

、

6

5

10

、

6

5

10

．

点评：此题主要考查了应用设计作图以及勾股定理和平行线分线段成比例定理等知识，根据已知得出符合要求的方案是解题关键．