Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6。

（1）求线段CD的长；
（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°-∠EBC。

Answer 1

解：（1）连接BD， 由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°， 又BF⊥CD， ∴∠DFE=90°， 又DG=DE，∠GDA=∠EDF， ∴△GAD≌△EFD， ∴DA=DF， 又BD=BD， ∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL）， ∴BF=BA=，∠ADB=∠BDF， 又CF=6， ∴BC=， 又AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD ∴∠BDF=∠CBD ∴CD=CB=8；
（2）∵AD∥BC， ∴∠E=∠CBF， ∵∠HDF=∠E， ∴∠HDF=∠CBF， 由（1）得，∠ADB=∠CBD， ∴∠HDB=∠HBD， ∴HD=HB， 由（1）得CD=CB， ∴△CDH≌△CBH， ∴∠DCH=∠BCH， ∴∠BCH=∠BCD=（90°-∠EBC）=45°-∠EBC。