Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E，己知AC=6，sinA=

4

5

．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠DBE的值．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：

分析：（1）在Rt△ABC中，先根据三角函数求出AB、AC的长，再根据根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD的长；
（2）过C点作CF⊥AB于F，求出DF的长，再根据余弦的定义即可求解．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴sinA=

BC

AB

=

4

5

，
设BC=4k，则AB=5k，
∴AC=

AB2-BC2

=3k，
∵AC=6，
∴3k=6，k=2，
∴AB=10，
∵D是边AB的中点，
∴CD=

1

2

AB=5；

（2）过C点作CF⊥AB于F．
CF=AC•BC÷AB=4.8，
cos∠DCF=

CF

CD

=

4.8

5

=

24

25

．
∵∠DCM=∠DBE，
∴cos∠DBE=

24

25

．

点评：本题考查了解直角三角形，涉及的知识点有：三角函数，直角三角形的性质，本题难度适中．