Question

19．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．

（1）如图①，当∠BOP=22.5°时，求点 B′的坐标；
（2）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m并写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）过点B′作B′D⊥OA于点D，由条件证得∠B'DO=45°，而OB'=6，则可直接算出B'的坐标；
（2）先由翻折性质推出∠OPQ=90°，进而推出△OBP∽△PCQ，列出相似比例关系即可；
（3）过点P作PE⊥OA于E，易证△PC′E∽△C′QA，从而列出相似比例等式，注意到△PC′E≌△OC′B′，得出线段相等关系，将用到的线段用t或m表示出来代入相似比例关系等式中，结合（2）中结论消去m，得到关于t的一元二次方程，解之即可．

解答 解：（1）过点B′作B′D⊥OA于点D，如图，

由翻折得△BOP≌△B′OP，
∴∠B′OP=∠BOP=22.5°，
∴∠B′OD=90°-∠B′OP-∠BOP=45°，
∵∠B'DO=90°，
∴∠B′OD=∠O B′D=45°，
∴OD=B′D 且设OD=B′D=a，
由勾股定理得  a²+a²=6²，$a=3\sqrt{2}$，
∴点B′的坐标为$（3\sqrt{2}，3\sqrt{2}）$；
（2）如图，

∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，
∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，
∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC，
∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，
∴∠OPB+∠QPC=90°，
∵∠BOP+∠OPB=90°，
∴∠BOP=∠CPQ，
又∵∠OBP=∠C=90°，
∴△OBP∽△PCQ，∴$\frac{OB}{PC}=\frac{BP}{CQ}$，
由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11-t，CQ=6-m．∴$\frac{6}{11-t}=\frac{t}{6-m}$
∴$m=\frac{1}{6}{t^2}-\frac{11}{6}t+6$（0＜t＜11）．
（3）过点P作PE⊥OA于E，如图，

∴∠PEA=∠QAC′=90°，
∴∠PC′E+∠EPC′=90°，
∵∠PC′E+∠QC′A=90°，
∴∠EPC′=∠QC′A，
∴△PC′E∽△C′QA，
∴$\frac{{P{E^{\;}}}}{{A{C^′}}}=\frac{{E{C^′}}}{AQ}$，
在△PC′E和△OC′B′中，
$\left\{\begin{array}{l}{PE=OB'}\\{∠PEC'=∠OB'C}\\{∠PC'E=∠OC'B'}\end{array}\right.$，
∴△PC′E≌△OC′B′，
∴PC'=OC'=PC，
∴BP=AC'，
∵AC′=PB=t，PE=OB=6，AQ=m，EC′=11-2t，
∴$\frac{6}{t}=\frac{11-2t}{m}$，
∵$m=\frac{1}{6}{t^2}-\frac{11}{6}t+6$，
∴3t²-22t+36=0，
解得：${t_1}=\frac{{11-\sqrt{13}}}{3}，{t_2}=\frac{{11+\sqrt{13}}}{3}$．
故点P的坐标为（$\frac{{11-\sqrt{13}}}{3}$，6）或（$\frac{{11+\sqrt{13}}}{3}$，6）．

点评 本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识点，综合性较强，难度较大．清楚翻折前后的两个图形全等以及熟悉相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．