Question

已知关于x的二次函数y=-x²+﹙2m+2﹚x-﹙m²+4m-3﹚，m是非负整数，图象与x轴交于点A和点B，点A、B分别在原点的左、右两边，点A在点B右侧．
﹙1﹚求该二次函数的解析式；
﹙2﹚一次函数y=kx+b的图象经过点A，与这个二次函数的图象交于点C，且△ABC的面积为10，求一次函数的解析式．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：代数综合题,判别式法

分析：（1）根据抛物线与x轴有两个交点，可得出（2m+2）²-4（m²+4m-3）＞0，求得m的取值范围，再根据m是非负整数，求出m的值，从而得出二次函数的解析式；
（2）由点A的坐标和△ABC的面积为10，可得出k、b的值，从而求得一次函数的解析式．

解答：解：（1）由题意得，（2m+2）²-4（m²+4m-3）＞0，
解得m＜2，
∵m是非负整数，
∴m=0或1，
当m=0时，二次函数的解析式为y=-x²+2x+3，
当m=1时，二次函数的解析式为y=-x²+4x-2，
∵图象与x轴交于点A和点B，点A、B分别在原点的左、右两边，
∴当m=1时，二次函数的解析式为y=-x²+4x-2不符合题意，
∴二次函数的解析式为y=-x²+2x+3；
（2）设点C（x，y），
由△ABC的面积为10，
得4|y|=20，
∴y=±5，
∵二次函数y=-x²+2x+3的顶点为（1，4），
∴y=5不符合题意；
∴y=-5，
把y=-5代入二次函数的解析式y=-x²+2x+3，得x₁=-2，x₂=4；
∴点C（-2，-5），（4，-5）
当C（-2，-5）时，把点A、C代入y=kx+b，得k=b=5，解析式为y=5x+5；
当C（4，-5）时，把点A、C代入y=kx+b，得k=b=-1，解析式为y=-x-1；
∴一次函数的解析式为y=5x+5或y=-x-1．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题，难度中等，以及二次函数与一元二次方程的关系，当抛物线与x中有两个交点时，一元二次方程的判别式大于0；当抛物线与x中有一个交点时，一元二次方程的判别式等于0；当抛物线与x中没有交点时，一元二次方程的判别式小于0．