Question

如图：设矩形ABCD的面积是36cm²，在边AB、AD上分别取点E、F，使AE=3EB，DF=2AF，DE与CF的交点为P，则△FPD的面积是

 

．

Answer 1

分析：延长DE，CB交于点M，构建相似三角形△ADE∽△BME、△FPD∽△CPM，然后根据相似三角形的对应边成比例求得AD=3MB、PC=2PF；作PN⊥AD于点N，构建△DPF的高线和平行线PN∥DC，利用平行线截线段成比例求得3PN=CD，∴PN=

1

3

CD，DF=

2

3

AD，然后根据三角形的面积公式解答．

解答：解：延长DE，CB交于点M，作PN⊥AD于点N．
在△ADE和△BME中，

∠AED=∠BEM(对顶角相等) ∠A=∠EBM=90°

，
∴△ADE∽△BME（AA）；
又AE=3EB（已知），
∴

MB

AD

=

EB

EA

=

1

3

（相似三角形的对应边成比例）；
∵DF=2AF，
∴设MB=x，则AD=BC=3x，DF=2x；
在△FPD和△CPM中，

∠DPF=∠MPC(对顶角相等) ∠FDP=∠PMC(两直线平行，内错角相等)

，
∴△FPD∽△CPM，
则

PF

PC

=

DF

MC

=

1

2

；
而PN∥CD，
则

PF

FC

=

PN

CD

=

1

3

，
∴PN=

1

3

CD，DF=

2

3

AD，
∴PN•DF=

2

9

AD•CD=

2

9

×36=8
∴三角形PDF的面积=

1

2

DF×PD=

1

2

×8=4；
故答案是：4．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质．解答本题的关键是通过作辅助线“延长DE，CB交于点M”构建相似三角形，然后由相似三角形的性质来求所求△PFD的面积与矩形的面积之间的数量关系．