Question

【题目】在△ABC中，，分别是两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，下图中是△ABC的一条中内弧．

（1）如图，在Rt△ABC中，分别是的中点．画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；

（2）在平面直角坐标系中，已知点，在△ABC中，分别是的中点．

①若，求△ABC的中内弧所在圆的圆心的纵坐标的取值范围；

②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①P的纵坐标或；②.

【解析】

（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE=2，最长中内弧即以DE为直径的半圆，的长即以DE为直径的圆周长的一半；
（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，，①当时，要注意圆心P在DE上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角∠AEP满足90°≤∠AEP＜135°；②根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值．

解：（1）如图2，

以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长的中内弧，连接DE，∵∠A=90°，AB=AC=2，D，E分别是AB，AC的中点，，

∴弧；

（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，

①当时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），，

设由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，

∵OA=OC，∠AOC=90°
∴∠ACO=45°，
∵DE∥OC
∴∠AED=∠ACO=45°
作EG⊥AC交直线FP于G，FG=EF=

根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；

综上所述，或m≥1．

②图4，设圆心P在AC上，

∵P在DE中垂线上，
∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM=

，

∵DE∥BC
∴∠ADE=∠AOB=90°，

∵PD=PE，
∴∠AED=∠PDE
∵∠AED+∠DAE=∠PDE+∠ADP=90°，
∴∠DAE=∠ADP

由三角形中内弧定义知，PD≤PM

，AE≤3，即，解得：