Question

【题目】如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，抛物线y=ax2+bx经过点C、A.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于R、S两点，问：四边形PRSM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．

（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点Q,过点Q作x轴的垂线，垂足为H,使得以O、Q、H为顶点的三角形与OAB相似，如果存在，直接写出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）有，最大值为10，过程略；（3）存在，Q1(2,4)；Q2 ().

【解析】

（1）根据旋转的性质可求出C的坐标和A的坐标，又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，求出a和b的值即可求出该抛物线的解析式；

（2）四边形PRSM的周长有最大值，设点P的坐标为P（a，-a2+4a）则由抛物线的对称性知OR=AS，所以RS=PM=4-2a，PR=MS=-a2+4a，则矩形PRSM的周长L=2[4-2a+（-a2+4a）]=-2（a-1）2+10，利用函数的性质即可求出四边形PRSM的周长的最大值．

（3）分别计算△OHQ∽△BAO和△OHQ∽△OAB时Q点的坐标，分析后即可解答.

解：（1）∵OA=4，AB=2，△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，∴点C的坐标为（2，4）．

又∵点A的坐标为（4，0），抛物线经过原点，故设y=ax2+bx（a≠0），把（2，4），（4，0）代入，得 ，

解得，所以抛物线的解析式为y=-x2+4x；

（2）有最大值．如图，

理由如下：设点P的坐标为P（a，-a2+4a），PR=MS=-a2+4a，

则由抛物线的对称性知OR=AS，所以RS=PM=4-2a，

则矩形PRSM的周长L=2[4-2a+（-a2+4a）]=-2（a-1）2+10，

所以当a=1时，矩形PRSM的周长有最大值，Lmax=10．

（3）设H点坐标为（n，0）,则OH=n，QH=-n+4n，

①假设△OHQ∽△BAO，则 ,

可得，解得=2，=0（舍去），

代入可得Q点坐标为（2，4）；

②假设△OHQ∽△OAB，则,

，解得= ，=0（舍去），

代入可得Q点坐标为（，）；

综上所述Q点坐标为（2，4）或（，）.